1 绪 论

1.1 引言

根据一些统计结果，人类获知的信息大概 70%以上是视觉信息，也就是图像。自然而然，许多国内外学者与专家长期致力研究图像处理也就不足为奇了。特别是近年以来，图像视觉信息的重要性在与人类紧密相关的各个行业领域体现的日益明显。因而图像处理也就逐渐成为一个热门、流行的研究方向。这当中图像分割技术[1]的研究始于上世纪 50 年代，它是数字图像处理技术[2]的重要组成部分。所谓图像分割[3-4]就是按照如数理统计、模糊理论、区域相似等方面的某些具体的标准，使得在物理意义这个层面上能够把图像描述成某些连通区域的集合。经过许多业界的研究者的不断探究，取得了不少成果，各种算法相继被提出。如何选择最适宜的分割算法仍是困难的，常常需要大量的实验，才能做出最佳选择。随着图像处理技术日趋完善、成熟以及不同学科之间的相互渗透，图像分割算法也逐渐朝着精确、智能、快速的方向发展。图像分割的算法类别众多，各自有各自的特点，可以处理不同类型的图像。

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1.2 课题研究的背景及意义

近几十年以来，在临床诊断和医学研究方面广泛应用的医学成像技术得到了迅猛的发展。1895 年德国物理学家 Wilhelm R ntgen 发现了 X 射线，自此医学影像技术逐渐发展了起来，最早是 X 射线断层摄影术(Computed Tomography，CT)、其后超声波成像(Ultrasound)、正电子发射断层成像(Positron Emission Tomography，PET)、核磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)、同位素扫描成像等技术相继出现。它们各有优劣，时空分辨率不同，因此提供的功能信息和(或)解剖信息也各有侧重。通常把医学成像和医学图像处理结合起来应用于临床，这样来辅助日常医生的诊断和治疗[5]是较为全面的。人体的内部结构、生理、病理等各种信息可以通过医学图像分析提供给医生或研究者，这样可以协助医生诊断、治疗并进一步理解疾病的发病原理。在使用医学成像技术对人体组织器官进行定性定量、实时监测，对病人进行治疗规划的过程中，经常需要测量人体某种组织或器官的极径、周长、面积、体积等等，以便得出该组织或器官病理、功能障碍方面的关键判断性信息，但是仅靠医生对图像采取人工的、主观的理解进行诊断和治疗是会受到一定限制的，其准确性和实时性也难以保证。而使用计算机对医学图像做分析，不仅能免除医生冗繁、主观、耗时的人工观察，而且还能为诊断提供更精确的数据。从低级图像处理到高级图像理解的各级任务中，图像复原、图像配准、图像分割、图像重建等等构成了医学图像分析的各个方面。医学图像分割是医学图像分析的重要环节，它是按灰度、纹理等把原始的 2D或 3D 图像分割为几个彼此性质不同的不相交区域，从而把感兴趣区域(Region of Interest，ROI)提取出来的过程。医学图像分割可以为医生的临床诊疗和病理学研究提供可靠的数据支持。尤其在过去三十年中，随着计算机图像分割技术的发展，使其在医学图像分析中所占的地位愈来愈重要。分割后的图像有着大量的应用，例如：定量测量组织结构，确定病变位置，解剖结构分析，医疗规划，计算机辅助诊断，功能成像数据的局部体效应校正，以及计算机引导技术。

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2 理论基础

2.1 变分理论

事实上只有极少数PDE定解问题可以得到其解析解。所以，一般只能求PDE的数值逼近解。常用的PDE数值解方法有很多，如：有限差分法，有限元法，边界元法，谱法等。其中有限差分法在图像偏微分方程中用的最多，这是因为通常数字图像本身就是定义在离散的网格上的，这么一来有限差分法中的时间步长就是天然的了。用有限差分法求解PDE问题的基本思想是：用有限个离散点构成的网格来代替连续的定解区域，于是函数对变量的偏导数就可以用两个相邻点的函数值的差与两点间在网格上的距离的比值来近似。有三种常见的差分格式：向前差分、向后差分以及中心差分。通过有限差分法，就可以将在连续的定解区域上的PDE离散化为只含有限个未知数的代数方程组。之后，再通过求解这个代数方程组，就得到所求函数在节点上的的近似值。

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2.2 E-L 方程的求解

变分理论是以 E-L 方程为基础的，和数学分析中求函数极值划归为求解临界点方程一样，求解泛函极值也可以划归为求解对应的 E-L 方程。显然 E-L 方程是微分方程。当 n=1时，这是常微分方程（或常微分方程组），当 n =1时，E-L 方程是偏微分方程。下面会简单阐述微分方程的一些基本概念和基本的数值解法。对于一个n阶常微分方程，其通解可以写成依赖于n个任意常数的形式。那么对于偏微分方程，其通解则可以写成依赖于n个任意函数的形式，所以偏微分方程通解的不确定性太大，失去了实际意义。因此，为了使方程的解有意义，就要在一些特定的条件下求方程的解，如初始条件或边界条件，这些条件称为定解条件。初始条件和边界条件的提出要依附于特定的物理问题。如果 PDE中同时含有对空间变量和时间变量的导数，那么就要同时给出边界条件和初始条件，此时这类问题就称为初边值问题。

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3 几何活动轮廓模型 .........17

3.1 基于边缘的活动轮廓模型 .......17

3.2 基于区域的活动轮廓模型 .......18

4 本文的几何活动轮廓模型 .....21

4.1 模型的构造 .......21

4.1.1 局部灰度聚类性质 ........ 21

4.1.2 能量泛函公式 .... 21

4.2 核函数与 Dirac 函数的统一....21

4.3 全局凸分割模型 .....24

4.4 模型的 Split-Bregman 迭代算法 ........26

4.5 实验结果及分析 .....27

5 总结与展望 .......31

5.1 论文总结 .....31

5.2 展望 .......31

4 本文的几何活动轮廓模型

4.1 模型的构造

上述实验结果是在Windows XP2002系统下运行的，CPU为AMDAthlon(tm)ИX2 215,内存大小为 1.75GB,运行的平台是 MatlabR2007b，通过上述结果对比可以看出方法①的计算时间最短，迭代次数最少，分割效果较 C-V 模型有显著的提高，而方法③和方法④的分割轮廓曲线比本文方法所得到的分割轮廓曲线要光滑,能量泛函采用公式（1）会把一些很小的区域也分割出来，这是因为公式（4.1）的正则项中只有长度项没有面积项，而且 Split-Bregman 方法中正则项中的   u(x)被引入的松弛变量d (x)所代替，而正则项正是使得曲线轮廓趋于光滑的约束项。

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总结

几何活动轮廓模型的数学理论基础是变分理论，微分方程理论，最优化理论。尽管近年来几何活动轮廓模型取得了很大的发展，但仍然有很大的发展空间和潜力，许多方法也是近年来才被引进到几何活动轮廓模中的。本文介绍了医学图像对图像分割技术的需求。详细叙述了几何活动轮轮廓图像分割方法的发展历程，研究现状。铺陈了几何活动轮廓模型的所用到的必不可少的基础数学理论。重点介绍了几何活动轮廓模型，尤其是基于区域的模型。本文的主要研究工作是基于区域的几何活动轮廓模型在医学图像分割中的应用。针对灰度不均匀的图像，构造一种既考虑全局信息又考虑局部信息的数据项，然后把核函数与 Dirac 函数写成一种形式。为了最后能用 Split-Bregman 迭代算法求解，先把能量泛函转化为全局凸分割模型。用医学图形做实验，对比四种方法的分割效果和计算时间，简单分析出现这种结果的原因。

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参考文献（略）