1绪论

1.1研究目的与意义

CT技术是计算机技术和X射线检查技术结合的产物，是用X射线从许多不同方向对人体某一部分的某一层面进行扫描，重构得到人体内部结构并进行医学诊断的技术。CT可以提供完整的三维信息，依需要不同，可以看到轴切面，冠状面，矢切面的影像，从而方便临床诊断时有针对地依据不同的影像做出病理判断。并且，由于电脑断层具有相当高的分辨率，不同组织对射线的吸收和透过率不同，即使是小于1%的密度差异也可以区分出来，使得重建CT图像具有高分辨率，达到提高诊断正确率的目的。CT具有诊断价值高、无痛苦、无创伤等优点，是放射诊断领域中的重大突破。然而，CT扫描带来的危害逐渐引起了重视。CT扫描使用的高能射线源会对人体组织造成不可逆转的破坏，即使医学CT严格限制射线源的放射剂量，但多次累积使用，X射线依然会对患者接受扫描的组织产生一定的影响。解决这个问题的方法主要是提高CT机的采样速率和减少射线的放射剂量，这会导致得到的投影数据更加稀疏。因而，目前的算法研究主要集中在如何在不改变探测器性能的前提下，提高稀疏投影的图像重建质量。传统的奈奎斯特采样定理指出采样频率应大于信号带宽的两倍，原来的连续信号才可以从采样样本中完全重建出来，否则重建出来的信号将会发生混叠失真，这也一度成为利用稀疏投影数据重建图像的瓶颈。然而，压缩感知通过幵发信号的稀疏特性，在远远小于奈奎斯特采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法精确地重建信号。

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1.2 CT图像重建的发展及研究现状

CT的目的是使用X射线从许多不同的方向穿过人体而得到人体内部组织器官的描述。高度准直的X线环绕人体某一部位做断层扫描，继而转变为可见光，利用光电转换器转变为电信号，通过模/数转换器转为数字信号，最后利用计算机对数字信号进行处理、运算，重建成供诊断用的图像。CT成像的基本原理如图1-1所示。CT图像形成的过程，是将体层（受检体中的一个薄层）分成按矩阵排列的若干个体积相同的长方体，即体素。人体是由多种物质成分构成的，因而其器官和组织的密度各不相同，导致体素对射线的吸收能力也各不相同。假设单个体素构造均勾，则吸收系数为一个常数，这里的吸收系数是表示体素对应的物质相对X射线的平均衰减量。其实，CT图像的本质就是衰减系数成像，根据已得到的吸收系数的二维分布，转化为CT值的二维分布，最后，将CT值矩阵对应变换为二维图像上的灰度分布，就得到了 CT影像。总的来说，CT图像的形成过程主要包括三个阶段：图像扫描阶段，图像重建阶段和图像显示阶段（如图1-2)。显示阶段由模/数转换器完成，在所显示的图像中像素的CT值和灰度梯度间的关系是可以利用可选窗位决定的，即可以通过调整窗位的高低，调节所显示图像的亮度以及对比度。

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2压缩感知理论

2.1压縮感知理论框架

压缩感知的主要思想是利用信号的稀疏性，通过一个测量矩阵对稀疏信号进行采样，最后利用非线性的重构算法将原始信号恢复出来。贪姜匹配算法该算法的思想是求解公式（2.2)中的稀疏解5，每次迭代时得到中哪些列向量参与了测量值的构成，即支撑域，然后求解残差作为下一次迭代的依据，更新支撑域，采用的是一种贪婪的模式去求解稀疏表示。最初的贪荽匹配算法是匹配追踪算法（MP)，针对该算法非正交性的投影可能导致最终得不到最优解，后来提出了正交匹配追踪算法（OMP)，不但使结果能达到最优，还能使迭代的次数减少。之后在此基础上又陆续出现了多种比之前的算法理论支持更强，实际效果更好的贪樊匹配追踪算法，例如：正则化的正交匹配追踪算法(ROMP) [47]、逐步正交匹配追踪（STOMP) [48]、压缩采样匹配追踪（CoSaMP)[49]、子空间追踪（SP) 等。

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2.2信号的稀疏表示理论

稀疏信号是指信号中拥有大量的零元素，然而在实际情况中，多数信号不满足严格的稀疏性，那么可以根据具体应用定义一个阈值，当信号某一分量的值小于阈值时，.就将该分量置为零元素，从而使信号含有足够多的零元素。例如对于符合指数衰减的趋近于零的信号，就可以认为是近似稀疏的，具有可压缩性。在自然情况下，大部分信号均是非稀疏的，但在一定的稀疏变换域中，一般是具有稀疏性的。稀疏表示主要包含两类：基于正交基的稀疏表示和基于冗余字典的稀疏。这是一种传统的信号表示方法，就是利用标准正交变换基5P将原始信号变换到另外的空间中，从而能够被更好的稀疏表达出来，如公式（2.1)。常用的经典的正交基有离散傅里叶变换基（DFT)、离散余弦变换基（DCT)、离散小波变换积（DWT)。但是不同的正交基对信号特征表示的测重点不同，对于不同的信号，稀疏的效果差别会很大。例如，DFT对振荡信号的稀疏表示效果很好，却在表示点状奇异信号时效果不理想，而二维小波变换却能弥补这一不足；对于具有很强纹理性的信号，DCT和Bmshlet能够很好的稀疏表示[2”。可见，单一的正交基不能够满足对复杂信号稀疏表示的需求，因而一些专家学者考虑采用组合正交基稀疏表示的方式[28，29]。另外，基于DWT的局部分析能力，出现了多尺度几何分析的高维空间稀疏表示方法，如曲波变换基、Gabor基[3G]以及Bandelet基[31]等，该类算法还增加了一定的方向辨识能力。

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3基于压缩感知的CT图雌代重建算法......... 15

3.1引言 .........15

3.2 SART算法基本原理 .........15

3.2.1图像网格离散化......... 15

3.2.2 SART算法的迭代步骤......... 16

3.3基于压缩感知的改进算法SART+TV......... 17

3.3.1最小全变分模型 .........17

3.3.2基于最小全变分的SART算法......... 17

3.3.3实验及结果分析......... 19

3.4本章小结......... 28

4基于冗余字典W CT图雜代算法......... 29

4.1引言 .........29

4.2基于K-SVD字典学习方法的CT图像重建......... 32

4.3实验及结果分析......... 32

4.3.1实验数据......... 32

4.3.2参数设置......... 34

4.3.3结果与分析......... 34

4.4本章小结......... 38

5总结与展望.........   39

5.1 总结......... 39

5.2展望......... 40

4基于冗余字典的CT图像迭代重建算法

4.1引言

随着信号表示理论的不断发展，冗余字典作为一种新的信号分解方式，在信号处理的很多应用中(比如，信号的压缩、去噪、重构)得到了重视。冗余字典相比于其他的正交变换表现出更加优良的性能，不但包含了信号在时域中具有的局部化特征信息，还保留了信号图像结构的重要轮廓特征。并且，利用冗余字典的稀疏表示可以进一步提高图像的稀疏度。考虑到SART图像重建过程中容易出现条纹干扰，尤其是当降低辐射剂量，减少投影角度时，会对重建图像质量的影响更为严重，因而希望通过冗余字典来改善图像的质量，恢复图像的特征信息。改进算法考虑使用K-SVD字典学习方法和非线性逼近算法OMP对样本图像进行字典训练，继而利用得到的字典对SART稀疏表示，稀疏表示系数中的非零项对应于图像中有用的特征信息，利用这些项重建图像，从而达到提高重建图像质量的目的。

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结论

CT是医学诊断中重要的技术，在医疗领域具有深远的意义。CT图像重建算法是CT技术的关键环节，如何减少CT扫描过程中射线对人体的辐射伤害，利用低剂量的稀疏投影数据重建出满足医疗诊断要求的CT图像，是目前专家学者研宂的核心之o一般CT图像重建有两种方法：解析法和迭代法。解析法对投影数据的完备性要求过高，不利于稀疏投影重建，而迭代法在这方面具有一定的优势，引起了研究人员的关注。本文主要是研究如何利用压缩感知技术和建立在其上的冗余字典理论对SART算法进行改进，达到抑制其条纹干扰，提高重建图像质量的目的。本文所做的主要工作如下：

① 分析研究SART算法，利用仿真实验进行CT图像重建，研究不同的参数设置(松弛因子、迭代次数、步长因子）对重建图像质量的影响，从而为改进算法奠定了一定的基础。

② 深入研究压缩感知理论，以最小全变分模型为桥梁，将压缩感知理论与SART算法联系起来，构建了 CT图像重建模型，改进了 SART算法，并且通过对Shepp-Logan幻影图像和Thorax胸部切片图像重建，验证了改进算法能够有效的抑制原始SART算法的条纹干扰现象，而且投影越稀疏时，改进算法的优势越明显。最后，通过观察改进算法对不同梯度稀疏性图像重建效果的不同，可以看出重建图像的梯度稀疏性越强，这种基于最小全变分模型的改进算法效果越好。

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参考文献（略）